4. Áreas y volúmenes de figuras conocidas

4. Áreas y volúmenes

de figuras conocidas

3. Movimiento en el Plano

   3.1. Las translaciones ¿ Qué es un vector ?

PRIMERO EMPEZAREMOS EXPLICANDO DISTINTOS USOS, PARTES FORMULAS ETC Y SEGUIREMOS CON LA PREGUNTA DE QUE ES UN VECTOR

La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' también del plano de forma que . Siendo el vector que define la traslación.

    EJEMPLO GRÁFICO DE TRASLACIÓN CON LA LETRA L CON VECTORº V:

Como vemos su A corresponde a A´, B corresponde a B´ , C corresponde a C´y así con los demás puntos con sus respectivos puntos.

La traslación se designa por , luego

El punto A' es el punto trasladado de A.

Un punto y su trasladado se dice que son homólogos.

Y DENTRO DE ESTAS TRANSLACIONES PODEMOS ENCONTRAR DISTINTAS COMO:

TRASLACIÓN DE UNA RECTA

TRASLACIÓN DE UN SEGMENTO

TRASLACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA

TRASLACIÓN DE POLIGONOS

De un triángulo

De un cuadrado

De un pentágono

De un hexágono

De un decágono

y así con muchos más polígonos

COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES

Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores , se obtiene otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores:

¿QUÉ ES UN VECTOR?

Un vector es un agente que transporta algo de un lugar a otro.

Vamos a observar esto paso a paso y no tan de golpe como en las traslaciones  y en geogebra para ver si vosotros bloggers podéis hacerlo vosotros también.

Explicaremos como podemos hacer una traslación de una recta:

RECTA:

Empezamos haciendo una recta marcando dos puntos:

Seguimos dandole a vector:

Y tiramos un vector desde uno de nuestros puntos el que queramos

El paso siguiente es darle al botón de traslación:

Y tocar primero el objeto que queremos trasladar que en este caso es la recta y después tocamos el vector por lo que se realizará la traslación.

Y como toque personal ponemos un segmento de la B al lado contrario que sería una especie de B´.

RETO: INTENTAR HACER UNA TRASLACIÓN DE ALGUNA OTRA FIGURA QUE NO SEA LA RECTA APARTE DE LO YA EXPLICADO.

Por último explicaremos y demostraremos gráficamente los tipos de vectores.

VECTORES EQUIPOLENTES:

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido

VECTORES LIBRES:

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre.

VECTORES FIJOS

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

VECTORES LIGADOS

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

VECTORES OPUESTOS

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

     VECTORES CONCURRENTES

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

    VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

 VECTORES ORTOGONALES

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

VECTORES ORTONORMALES

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

Introducción

Hola, este blog pertenece a los alumnos de 3ºD de la E.S.O. de San Juan Bautista. Vamos a hablar sobre la geometría,

Esperemos que os sirva de ayuda. Un saludo.

1.Tipos de triángulos

1.Tipos de triángulos:

 -Según sus lados:

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales.


 -Según sus ángulos:

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

1.2.Rectas y puntos notables en el triángulo

Baricentro: en un triángulo es el punto de intersección de las medianas de éste. Por ello, para representarlo gráficamente, hay que dibujar las tres medianas y localizar el punto en el que se cortan.



Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, por lo que la distancia a cada uno de sus vértices es la misma . En concreto, es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo. Es decir que para representar gráficamente el circuncentro dibujamos las tres mediatrices y localizamos el punto de intersección de las mismas.



Ortocentro:  es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo.Por lo que para representar gráficamente el ortocentro de un triángulo dibujamos las tres alturas y nos quedamos con el punto en el que se intersecan. 

1.3 Teorema de pitágoras

TEOREMA DE PITÁGORAS 

 Demostración gráfica:

Demostración 3D

 

1.4. El Teorema de Tales

Existen dos teoremas de Tales: El primero y el segundo

1º Teorema de Tales

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí

Si dos rectas cualesquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos de la otra

En esta imagen se expresa que el segmento AB entre AC son proporcional a BD entre CE, y imagen de la derecha los segmentos AC entre BD son proporcional a  CE entre DF.

Este teorema nos permite calcular la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos.
Como podemos observar la primera imagen representan dos triángulos semejantes.

2º Teorema de Tales

Teorema enfocado en los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos

Sea B de la circunferencia de diámetro AC y centro O, distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo donde <ABC=90º

Es un caso de una propiedad de los puntos cocíclicos (son aquellos que pertenecen a una misma circunferencia) y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Este teorema se aplica para trazar circunferencias tangentes a la del dibujo y que haya un punto conocido, P, en el que haciendo dos rectas con los puntos tangentes hacia el punto, se crucen en ese punto.



-¿Cómo calcular la altura de un árbol a partir de su sombra?
 







En este caso, como los triángulos que forman los dos ejemplos son semejantes, por lo que lo único que tendrías que hacer sería comparar los dos de esta forma:

 x/12=1,50/2,25

haciendo que:

1,50*12=2,25x

calculándolo daría  x=8 m